Identification of elastic parameters by displacement field measurement

In this Note we study a parameter identification problem associated with a two-dimensional mechanical problem. In a first part, the experimental technique of determining the displacement field is presented. The variational method proposed herein is based on the minimization of a separately convex functional which leads to the reconstruction of the elastic tensor and the stress field. These two reconstructed fields are continuous and piecewise linear on a triangulation of the two-dimensional problem. Some numerical and experimental examples are presented to test the performance of the algorithm. c 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Continuum mechanics/ identification/ inverse problem/ digital image correlation Identification de paramètres mécaniques par mesure de champ de déplacement Résumé. On étudie un problème d’identification de paramètres associés à des équations de la mécanique en dimension 2. Pour cela, dans une première partie, on présente le procédé expérimental permettant de mesurer le champ de déplacements. La méthode variationnelle proposée est basée sur la minimisation d’une fonctionnelle séparement convexe et permet de reconstruire à la fois le tenseur d’élasticité et le champ des contraintes à partir des mesures du champ de déplacements. Les deux champs reconstruits sont continus et linéaires par morceaux sur une triangulation du domaine bidimensionnel. Pour tester les performances de l’algorithme on présente des exemples numériques et expérimentaux. c 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Milieux continus/ identification/ problème inverse/ corrélation d’images numériques Version française abrégée Pour déterminer un champ de déplacement d’une texture aléatoire en cours d’essai, on peut acquérir des images pour lesquelles on analyse une série de sous-images (ou encore zones d’étude, ZE) de la région Note présentée par First name NAME S1620-7742(01)0????-?/FLA c 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1 G. Geymonat, F. Hild, S. Pagano d’étude (RE). Le but de la corrélation est d’apparier les ZE entre elles dans les deux images. Le déplacement est alors un décalage bidimensionnel d’un signal. On considère dans l’équation (1) un signal , qui est le décalé d’un signal de référence bruité par (cf. [4] dans le cas de caméras CCD), où est le déplacement inconnu que l’on cherche à identifier. L’évaluation de revient à minimiser la norme de la différence (2) par rapport à un déplacement test . Lorsque l’on choisit la norme quadratique usuelle, cette minimisation est équivalente à maximiser (3), où est le produit d’intercorrélation. Le déplacement qui maximise le produit d’intercorrélation est noté . Un algorithme sub-pixel basé sur des transformées de Fourier rapides est utilisé [1]. La figure 1 montre des mesures de déformations obtenues à l’aide de jauges et une comparaison avec des prévisions obtenues par corrélation d’images numériques (1008 1016 pixels, codage sur 8 bits). Les déformations longitudinale et transversale ont été mesurées lors d’un essai de traction sur une éprouvette en AU4G avec un montage spécial [3]. Un microscope longue distance permet d’examiner une surface de 4mm . Une taille de ZE de 64 64 pixels a été utilisée. L’écart quadratique moyen de l’erreur entre mesure par jauge et par corrélation d’images est de . Des déformations de l’ordre de ! " peuvent être mesurées de manière fiable. A l’aide de ces mesures par corrélation d’images on a obtenu un module d’Young de 72 #%$ GPa et un coefficient de Poisson de 0.3 #% '& ($ pour des contraintes moyennes variant de 10 à 90 MPa. Ces valeurs sont en concordance avec celles données pour ce type d’alliage [7] (72 GPa et 0.32, respectivement) et avec celles déduites des mesures par jauges (76 #% '&*) GPa et 0.33 #% '& ( +) , respectivement). On peut donc considérer qu’avec ces mesures on connait le champ des déplacements plans , %-/.10%23 145 76 , où 498;: représente la RE. De même, on suppose connue la densité des forces volumiques et que des observations (linéaires) < sur l’effort appliqué durant l’essai (cf. équation (4) ; par exemple, le niveau d’effort global lors d’un essai de traction peut être considéré comme une observation linéaire du champ de contrainte inconnu = ). L’objectif principal de ce qui suit est de trouver le tenseur d’élasticité associé et le champ de contrainte sans hypothèses supplémentaires (en particulier d’homogénéité de l’essai). Moyennant ces données, on dira qu’un couple